Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học Lớp 7

.
Cách dựng: 
Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được DOAB.
y
x
O
A
B
O’
A’
B’
Dựng DO’A’B’ = DOAB ( c.c. c) như bài toán 1, ta được O’ = O.
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của góc xAy cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn ( A; r ) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
Dựng các đường tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia AD là tia phân giác của xAy.
Thật vậy: DABD = DACD ( c- c- c) Þ A1 = A2
x
y
z
A
B
C
D
r
r
r
r
1
2
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
Cách dựng:
Dựng hai đường tròn ( A; AB ) và ( B; BA )chúng cắt nhau tại C, D. Giao 
điểm của CD và AB là trung điểm của AB.
*Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
Dựng đường trung trực của AB.
- Đường trung trực của AB là đường thẳng vuông góc với đường thẳng a
Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện.
 3. CƠ SỞ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo một cách gồm các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả.
4. CÁC GIẢI PHÁP BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:
 Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7: 
Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc
4.1 Bài toán 1: 
Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC ( H Î BC) thì DH = 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H Î BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Hướng suy nghĩ:
A
B
C
H
D
DABC cân tại A Û AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của BC. Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm; ;
 DH ^ BC, DH = 4 cm
KL
D ABC cân tại A.
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =
Lại có: BD == 5 cm ( do D là trung điểm của AB)
Xét D HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2
Þ BH2 = BD2 - DH2 = 52 - 42 = 9 Þ BH = 3 ( cm)
Ta có BH + HK = BK ( Vì H nằm giữa B và K ) 
A
B
C
H
K
D
Þ HK = BK – BH = 6–3 = 3 (cm)
Xét DABK có BD = DA ( gt ) ; BH = HK ( = 3 cm)
Þ DH // AK ( đường nối trung điểm 2 
cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3).
Ta có: DH ^ BC, DH // AK Þ AK ^ BC.
AKB = AKC = 900
Xét D ABK và DACK có:
BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
AKB = AKC = 900
 AK là cạnh chung
Do đó D ABK = DACK (c - g - c)
Þ AB = AC Þ D ABC cân tại A. ( đpcm)
4) Nhận xét: 
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình Toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.
4.2. Bài toán 2: 
Cho tam giác ABC có B = C; chứng minh rằng: AB = AC? (Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc .cạnh. góc của hai tam giác).
1) Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác ABC có B = C; Yêu cầu: chứng minh AB = AC.
2) Hướng suy nghĩ: 
Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC ( IÎ BC)
3) Chứng minh: 
GT
DABC; B = C 
KL
AB = AC
I
Vẽ tia phân giác AI của BAC ( IÎ BC).
ÞA1 = A2 = 1/2.BAC. (1) 
 áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác vào hai tam giác ABI và ACI ta có: 
A1 + B + I1 = 1800 => I1 = 1800 – (A1 + B)
A2 + C + I2 = 1800 => I2 = 1800 – (A2 + C)
Mặt khác B = C ( gt); A1 = A2 ( theo (1) )Þ I1 = I2 (2) 
Xét D ABI và D ACI ta có:
I1 = I2 ( theo (2))
Cạnh AI chung
A1 = A2 ( theo (1))
Þ D ABI = D ACI ( g - c - g) 
Þ AB = AC ( 2 cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
 Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.
Cách 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
4.3. Bài toán 3: 
Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, yêu cầu chứng minh: 
2) Hướng suy nghĩ: 
B
A
C
M
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
3) Chứng minh:
GT
DABC;A = 900;
AM là trung tuyến
KL
B
A
C
M
D
1
1
2
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét D MAC và D MDB ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M1 = M2 ( hai góc đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
Þ D MAC = D MDB ( c - g - c) Þ AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1)
 A1 = D (2 góc tương ứng).
Từ (1) Þ A1 = D Þ AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
 Lại có: AC ^ AB ( gt) Þ AC ^CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) =>ACD = 900; BAC = ACD = 900 (2)
Xét D ABC và D CDA có:
AB = CD ( Theo (1))
BAC = ACD = 900 ( Theo (2))
AC là cạnh chung
Þ D ABC = D CDA ( c - g - c) 
Þ BC = AD ( 2 cạnh tương ứng ) Mà nên 
4) Nhận xét: 
Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh ta đã vẽ thêm đoạn thẳng MD trên tia AM sao cho MD = MA, do đó Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC và đưa bài toán đã cho trở về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác.
4.4. Bài toán 4: 
Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC.
 So sánh BAM và MAC ? ( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2 )
1) Phân tích bài toán: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. 
Yêu cầu : So sánh: BAM và MAC ?
2) Hướng suy nghĩ: 
Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
B
A
 C
M
3) Chứng minh: 
GT
DABC; AB < AC
M là trung điểm BC
KL
So sánh:BAM và MAC?
B
A
 C
D
M
2
1
1
2
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét D MAB và D MDC ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M1 =M2 ( vì đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
Þ D MAB = D MDC ( c - g - c) 
Þ AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) 
và A1 =D (2 góc tương ứng). (2)
Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) Þ CD < AC.(3) 
Xét DACD có: 
 CD < AC ( theo (3))
 A2 <D (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
Mà A1 =D ( theo (2)) nên A2 <A1 hayMAC <BAM 
4) Nhận xét: 
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc A2 và A1 về cùng một tam giác bằng cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó A1 =D, ta chỉ còn phải so sánh A2 vàD ở trong cùng một tam giác ADC.
B
A
C
D
Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng.
4.5. Bài toán 5: 
Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.
 Chứng minh: AB = CD, AC = BD? 
( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
 Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. 
Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hướng suy nghĩ:
để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra hai tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
3) Chứng minh:
B
A
C
D
GT
AB // CD; AC // BD
KL
AB = CD; AC = BD
Xét D ABD và D DCA có:
BAD =CDA ( so le trong - AB // CD)
AD là cạnh chung
ADB =DAC ( so le trong - AC // BD)
Þ D ABD = D DCA ( g - c - g)
AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)
4) Nhận xét: 
Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh 
D ABD = D DCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song.
Cách 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. 
4.6. Bài toán 6: 
Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. 
Chứng minh rằng D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều?
1) Phân tích bài toán: Bài cho D ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều.
 2) Hướng suy nghĩ: 
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB ^ AC và suy ra  = 900.
3) Chứng minh: 
GT
I
A
B
C
H
M
1
2
3
2
1
D ABC; AH ^BC; 
trung tuyến AM;
A1 =A2 =A3 
KL
D ABC vuông ;
D ABM đều
Vẽ MI ^ AC ( I Î AC)
Xét D MAI và D MAH có:
H =I ( gt)
AM là cạnh chung) Þ D MAI = D MAH ( cạnh huyền - góc nhọn)
 A2 =A3 (gt) 
Þ MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Xét D ABH và D AMH có:
H1 =H2 = 900( gt)
AH là cạnh chung Þ D ABH= D AMH ( g - c - g)
A1 =A2 ( gt)	 
Þ BH= MH ( 2 cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: H Î BM , nên từ (1) và (2) Þ 
Lại có BM = CM (gt) 
 Xét D MIC vuông tại C có: nên C =300 từ đó suy ra: 
HAC = 600 Þ BAC = 3/2.HAC = 3/2.600 = 900.
Vậy D ABC vuông tại A. Vì C = 300 => B = 600
Lại có ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) và BM = MC ( vì M là trung điểm BC) suy ra AM = BM do đó D ABM cân tại A và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét: 
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ^ AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.
4.7. Bài toán 7: 
Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E. Chứng minh rằng: BD = CE.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho D ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
Yêu cầu chứng minh: BD = CE.
2) Hướng suy nghĩ: Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba, rồi chứng minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó. 
D
A
B
C
H
M
F
E
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB < AC; 
AH là tia phân giác BAC;
DE ^ AH 
KL
BD = CE
Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng DE.
Xét D MBF và D MCE có: 
MBF =MCE ( so le trong - BF // CE)
MB = MC ( gt)
BMF =CME ( đối đỉnh)
Do đó D MBF = D MCE (g -c - g)
Þ BF = CE ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Mặt khác D ADE có AH ^ DE và AH cũng là tia phân giác của ( gt)
Do đó: D ADE cân tại A Þ BDF =AED 
Mà BF // CE ( theo cách vẽ) Þ BFD =AED
Do đó: BFD = BDF Þ D BDF cân tại B Þ BF = BD (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE ( đpcm )
4) Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS.
Năm cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp tam giác bằng nhau, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán.
Cách 5: Phương pháp “ tam giác đều”
Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi.
Đặc biệt đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn học sinh chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như :
- Tam giác cân có một góc xác định.
- Tam giác đều.
- Tam giác vuông cân.
- Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền...
 Sau đó hướng dẫn học sinh nghĩ đến việc tình số đo của góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau).
Ta hãy xét một bài toán điển hình:
4.8. Bài toán 8: 
Cho tam giác ABC cân tại A, = 200. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng DCA = 1/2.Â.
1) Phân tích bài toán: Bài cho DABC cân tại A, = 200 = 200 ; AD = BC ( D ÎAB)
Yêu cầu chứng minh: DCA = 1/2.Â.
A
B
C
D
M
2) Hướng suy nghĩ: Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 -200 = 600 là số đo mỗi góc của 
tam giác đều Þ Vẽ tam giác đều BMC
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB = AC; Â = 200; AD = BC (D ÎAB)
KL
 DCA = 1/2.Â.
Ta có: DABC; AB = AC; Â = 200 ( gt)
Suy ra: B = C = (1800 - 200):2 = 800
- Cách 1:
Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), 
ta được: AD = BC = CM đồng thời AB M= AC M= 1800 - 600 = 200
Ta có D MAB = D MAC ( c - c - c) Þ MAB = MAC = 200: 2 = 100
Xét DCAD và DACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
CAD = ACM = 200
AC là cạnh chung
Do đó DCAD = DACM ( c -g -c )
DCA = MAC = 100
 Vậy DCA = 1/2. BAC
4) Nhận xét:
* Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 -200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
* Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
- Cách 2:
 Vẽ EAD đều nằm ngoài tam giác ABC, tạora 
 Khi đó EAC = CBA (c.g.c) vì: EA = BC (EAC = 600 + 200 = 800 = B)
800
A
C
B
D
E
1
2
?
 EAC = B
 AC = AB
 CE = CA và ECA = BAC
 Mặt khác CDA = CDE (c.c.c) vì: DA = DE
 CD chung
 CA = CE
 => C1 = C2 =1/2.ECA = 1/2.BAC = 100
 Vậy DCA = 1/2. BAC
800
A
C
B
D
E
2
1
1
?
Sau khi phân tích, hướng dẫn học sinh làm hai cách trên, 
có thể hướng dẫn 
học sinh làm thêm theo cách sau:
 - Cách 3 :
 Vẽ tam giác đều EAC nằm ngoài 
tam giác ABC, tạo ra DAE = 800 =B
Khi đó DAE = CBA (c.g.c) vì :
 AE = BA ( = AC )
 DAE =B = 800
 AD = BC
=> E1 = A1
=> E1 = 200 (A1 = 200)
Và DE = AC
 DE = AC mà AC = CE nên DE = CE do đó DEC cân tại đỉnh E, có góc ở đỉnh
 E2 = 600 – 200 = 400 
800
A
C
B
D
1
1
?
800
A
B
D
E
1
2
góc đáy ECD = (1800 – 400):2 = 700 
 Do đó DCA=DCE - ACE = 700 - 600 = 100
 Từ đó ta có điều phải chứng minh.
 - Cách 4 :
 Vẽđều ABE ( E,C nằm cùng phía đối với AB)
tạo ra CBE = 800 – 600 = 200 = BAC
 Khi đó CBE =DAC (c.c.c) vì :
 CB = AD (gt)
 BE = AC ( =AB)
 CBE = BAC = 200
=> E1 = C1
Vậy để tìm C1 ta chỉ cần tính E1
Ta có AE = AC (=AB) nên AEC cân tại A lại có góc ở đỉnh Â= 600- 200= 400
 Nên góc ở đáy AEC = (1800 – 400) : 2 = 700
Mà góc E2 = 600 (góc trong tam giác đều ABE) 
E1 = AEC - E2 = 700 - 600 = 100 => C1 = 100 => ACD = = 100
 Vậy DCA = 1/2. BAC
 ở ví dụ này đề bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là : AB = AC ; 
AD = BC. Như vậy có thể giải bằng 4 cách : Vẽ tam giác đều có một cạnh là AC ; vẽ tam giác đều có một cạnh là AB ; vẽ tam giác đều có một cạnh là BC ; rồi AD. Qua ví dụ bước đầu các em đã định hình được phương pháp vẽ tam giác đều và các cách triển khai theo phương pháp đó.
Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học.
4.9. Bài toán 9: 
Cho tam giác ABC vuông tại A, C = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC vuông tại A, C = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. Yêu cầu chứng minh D OBC cân tại O.
2) Hướng suy nghĩ: 
Ta thấy C = 150suy ra  = 750 - 150 = 600
là số đo của mỗi góc trong tam giác đều 
Þ sử dụng phương pháp tam giác đều
 vào việc giải bài toán.
3) Chứng minh:
GT
DABC; Â= 900; C = 150
O Î tia BA; BO = 2AC
KL
D OBC cân tại O.
Ta có: DABC; Â= 900; C = 150 (gt) Þ B = 750
Vẽ tam giác đều BCM 
( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC)
Ta có: OBM =ABC - MBC = 750 - 600 = 150
Gọi H là trung điểm của OB .
 Mặt khác BO = 2AC (gt) nên 
từ đó có AC = BH
Xét D HMB và D ABC có: 
BH = AC (cmt)
HBM =ACB (= 150)
MB = BC ( cạnh D đều BMC)
Do đó D HMB = D ABC ( c -g -c)
Þ H =A = 900) => MH vuông góc OB
 D MOB có MH là đường cao và là đường trung tuyến nên cân tại M, lại có góc đáy OBM =150 Þ góc ở đỉnh BMO = 1800 – 2.150 = 1500. 
Từ đó CMO = 3600 – (1500 + 600) = 1500 => CMO =BMO = 1500
DMOB và DMOC có : MB = MC ( cạnh của D đều BMC)
 CMO =BMO (cmt)
 OM chung
Do đó DMOB = DMOC (c-g-c) Þ OB = OC 
Vậy D OBC cân tại O. ( đpcm)
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán vì phát hiện thấy C = 150 suy ra  = 750 - 150 = 600 là số đo của mỗi góc trong tam giác đều, điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trên. Nhờ có các cạnh của tam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 600, ta chứng minh được D HMB = D ABC ( c - g- c); DMOB = DMOC ( c - g - c) dẫn tới D OBC cân tại O, đó chính là tác dụng của phương pháp tam giác đều.
4.10. Bài toán 10. 
Cho ABC vuông, cân tại A, điểm E nằm trong tam giác sao cho EAC =ECA = 150 . Tính AEB =?
Hướng dẫn :
Điều đầu tiên trong bài toán này là HS phải phát hiện ra
 tam giác AEC cân tại E vì có hai góc bằng 150
 từ đó suy ra EA = EC và AEB = 1800 – 2.150 = 1500
 Cũng như ở bài toán 8, ở bài toán này các em
sẽ sớm phát hiện thấy BAE = 750 và EAC = 150 
mà 750 - 150 = 600 là góc của tam giác đều
( Cũng có em nhận xét: BCA = 450 ; EAC = 150; và 450 + 150 = 600 ).
 Còn đối với những em chưa xác định được điều gì ta cũng gợi ý, hướng dẫn các em tính số đo các góc trong bài rồi tìm mối liên quan giữa các góc đó. Từ