Sáng kiến kinh nghiệm Dạy giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

 giác lúc ban đầu là 20cm
Chiều cao của tam giác là:.20 = 15 (cm).
4. Yêu cầu 4:
Lời giải bài toán phải đơn giản và phù hợp với kiến thức trình độ học sinh; đại đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng được.
Ví dụ 4:
Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, 5 ngày trước khi hết thời hạn xưởng đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch xưởng phải may trong thời gian bao lâu và mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo? 
- Giải:
Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x. (x ê N; x > 0)
Thời gian quy định may xong áo là (ngày).
Số áo thực tế may được trong 1 ngày là: x + 6 (áo).
Thời gian may xong 2650 áo là: (ngày).
Vì xưởng may xong 2650 áo trước khi hết hạn 5 ngày nên ta có phương trình:	
x2- 64x – 3600 = 0
x1= 100 (thỏa mãn điều kiện)
x2= -36 (loại).
 Vậy: Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo.
Thời gian quy định may xong 3000 áo là: = 30 (ngày).
5. Yêu cầu 5: Lời giải phải được trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các bước sau được suy luận từ các bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trước.
Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông là 9.6 m và chia cạnh huyền làm 2 đoạn hơn kém nhau 5,6 m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
- Phân tích: Xét tam giác vuông ABC. Giả sử AC > AB CH > BH.
A
B
H
C
Cần chú ý rằng: AH2 = BH . CH
- Giải: Gọi dộ dài BH là x (m) (x>0). 
 Độ dài CH là x+ 5,6 (m).
Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác, ta có phương trình:
x.(x + 5,6) = 9,62
 x2 + 5,6 x - 92,16 = 0
x1 = 7,2 (thỏa mãn điều kiện).
	 x2 = - 12,8(loại).
Vậy: BH = 7,2 m
 CH = 7,2 + 5,6 = 12,8 m.
Độ dài cạnh huyền là : BC = BH + CH = 7,2 + 12,8 = 20 (m)
	6. Yêu cầu 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ. Các bước cần lập luận không chồng chéo, phủ định lẫn nhau. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nghiệm nhất là đối với phương trình bậc hai, hệ phương trình.
Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25, tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 35. Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
- Giải: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x; y (x > 0; y > 0).
Ta có hệ phương trình:
	 x + y = 35
x2 +y2 = 252 = 625
	x + y = 35 	 x + y = 35
	(x + y)2 – 2xy = 625	x . y = 300
 x, y là nghiệm của phương trình: a2 – 35 a + 300 = 0
a1 = 20; a2 = 15	(thỏa mãn điều kiện).
 Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 20 và 15.
Nhận xét: Ở bài toán này, khi tìm ra 2 kết quả là 20 và 15, học sinh sẽ phân vân: 1 hay 2 đáp số? (x = 15; y = 20) ; (x = 20; y = 15).
	Trên thực tế 2 tam giác vuông này là một. Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đảm bảo thì các nghiệm dều hợp lí. (Một bài toán không nhất thiết chỉ có duy nhất 1 kết quả).
CHƯƠNG II : PHÂN LOẠI BÀI TOÁN
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
VÀ CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI MỘT BÀI TOÁN
I – PHÂN LOẠI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
Trong bài tập ở lớp 9, giải bài tập bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có thể phân loại như sau:
Loại toán về chuyển động.
2. Loại toán liên quan đến số học.
	3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm).
4. Loại toán công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị).
5. Loại toán về tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỉ số của chúng).
6. Loại toán có liên quan đến hình học.
7. Loại toán có nội dung vật lí, hóa học.
II. CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 1. Phần giai đoạn:
- Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dựng phương trình, biến đổi tương đương về dạng 
ax + b = 0 (a ¹ 0).
- Với bài toán: Giải bài toán bằng phương trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây dựng phương trình, biến đổi tương đương về dạng:
ax2 + bx + c = 0 (a,b ¹ 0)
- Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là dạng toán sau khi biến đổi tương đương về dạng nguyên (như mẫu số) có dạng:
 ax + by = c
 a,x + b,y = c, ( Trong đó a, b, a,, b, không đồng thời bằng 0 )
Để đảm bảo 6 yêu cầu về bài toán và 3 bước trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình) như phần I đã trình bày thì giải bài toán này có thể chia làm 7 giai đoạn cụ thể hơn 3 bước quy tắc giải bài toán bằng lập phương trình (hệ phương trình).
* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận của bài toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? Cần tìm gì? (Nêú được có thể mô tả bằng hình vẽ).
* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập phương trình. Tức là chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn.
* Giai đoạn 3: Lập phương trình, dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được.
* Giai đoạn 4: Giải phương trình , vận dụng các kí thuật giải phương trình đã biết để tìm nghiệm của phương trình.
* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình, để xác định lời giải của bài toán tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với hiện thực xem có phù hợp không?
* Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm, sau khi thử lại.
* Giai đoạn 7: Phân tích, biện luận cách giải, phần này thường mở rộng cho học sinh tương đối khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đối bài toán thành bài toán khác, ta có thể:
- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết).
- Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số hay giả thiết) nhằm phát triển tư duy cho học sinh.
	- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất.
 CHƯƠNG III: NHỮNG LOẠI BÀI TOÁN
VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI. PHÂN LOẠI BÀI TOÁN
I. DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:
Bài toán 1: Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đường quốc lộ và cách nhau 7 m. Nếu Lan và Nam đi xe đạp cùng lúc và ngược chiều nhau thì sau 25 phút họ gặp nhau.
Tính vận tốc của mỗi người? Biết rằng vận tốc của Lan bằng vận tốc của Nam.
 - Phân tích: Đây là bài toán chuyển động ngược chiều khi hai người gặp nhau thì tổng quãng đường mà hai người đã đi đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa hai người.
Có thể minh họa bằng bẳng sau:
Vận tốc
Thời gian
Quãng đường
Nam
x
Lan
- Giải: Gọi vận tốc của Nam là x (km/h) (x>0).
	Vận tốc của Lan là (km/h).
	Sau 25 phút = h thì:
Quãng đường nam đi được là: (km/h).
Quãng đường Lan đi được là: (km).
Đến khi gặp nhau, tổng quãng đường 2 người đã đi bằng khoảng cách giữa nhà Lan và nhà Nam. Ta có phương trình:
 Vậy vận tốc của Nam là 16 km/ h.
Vận tốc của Lan là:
Bài toán 2 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ, ô tô bị chắn bởi xe hỏa mất 10 phút. Do đó để đến B kịp giờ xe đã phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.
Phân tích : + Thời gian trên thực tế ô tô đã đi cố thể chia làm 3 giai đoạn :
Giai đoạn 1 : Ô tô đi với vận tốc dự định 
Giai đoạn 2 : Ô tô dừng lại.
Giai đoạn 3 : Ô tô đi với vận tốc mới.
 + Do ô tô đến B kịp giờ nên thời gian theo dự định = thời gian trên thực tế 
ô tô đã đi.
 - Giải : Gọi vận tốc theo dự định của ô tô là x ( km/h ) ( x> 0 )
 	Thời gian ô tô đi theo dự định là : 
Sau 1 giờ đầu ô tô đi được x ( km )
Quãng đường còn lại là : 120 – x ( km )
Vận tốc của ô tô khi trên đoạn đường còn lại đó là : x + 6 ( km/h )
 Thời gian ô tô đi nốt đoạn còn lại là : 
 thơi gian ôtô di nốt đoạn còn lại là : 
 thời gian trên thực tế ô tô dã đi là : 
ô tô đến B kịp thời nên ta có phương trình : 
	x2 + 42x –4320 = 0
	x1 =48 ( t/m điều kiện )
 x2 = - 90 ( loại )
 Vây vận tốc theo dư định của ô tô là 48 km/h
 Bài toán 3 : Trên một sông , một ca nô xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km mất 7 h . Một lần khác ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km cũng mất 7 h . Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng của ca nô.
- Phân tích : Trong chuyển động trên dòng nước cần lưu ý : 
 Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước 
 Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nước
 - Giải : Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( km/h )
 	 Vận tốc dòng nước là y ( km/h ) ( x > y > 0 )
 Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là : x + y ( km/h )
 Vận tốc ca nô khi ngược dòng là : x – y ( km/h )
Lần đầu : Ca nô xuôi dòng 108 km mất : 
 Ca nô ngược dòng 63 km mất : 
Ta có phương trình : (1)
Lần sau : Ca nô xuôi dòng 81 km mất : 
	Ca nô ngược dòng 84 km mất : 
 Ta có phương trình : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
Đặt . Ta có:
(I)	 108a + 63b = 7	(II)
	 81a + 84b = 7
Giải hệ phương trình (II) ta được:
(t/m)
Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 km/h
 	 Vận tốc dòng nước là 3 km/h.
Tóm lại: Với các bài toán minh họa trên giáo viên phần nào đã hình thành cho học sinh làm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập phương trình. Ở đây mới chỉ nêu cách giải đại diện cho các dạng phương trình bậc nhất, phương trình bậc 2; hệ phương trình.
Trong các bài toán chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệ giữa các đại lượng: vận tốc, quãng đường, thời gian. Thông thường một trong ba đại lượng đó sẽ được chọn là ẩn số (với điều kiện tương ứng); Một đại lượng đã được xác định; ta phải biểu thị đại lượng còn lại theo ẩn và dựa vào mối liên hệ trong bài toán để lập phương trình (hệ phương trình).
Cần lưu ý trong toán chuyển động cũng có thể chia làm nhiều dạng nhỏ.
Nếu 2 chuyển động ngược chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng nhau, ta có: S1 + S2 = khoảng cách ban đầu.
Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng nhau, ta có: S1 - S2 = khoảng cách ban đầu (S1 > S1).
Nếu chuyển động cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Nếu chuyển động trên đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A biết tổng thời gian thực tế của chuyển động thì:
Tổng thời gian = thời gian đi + thời gian về.
Nếu là chuyển động trên dòng nước thì:
 Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng.
 Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng.
Vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng = 2 vận tốc dòng.
Vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng = 2 vận tốc dòng.
Thời gian dự định đi ban đầu + thời gian đến chậm =
Thời gian của chuyển động sau khi tăng tốc độ + thời gian đi với vận tốc ban đầu
 + thời gian nghỉ (nếu có).
II. DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HỌC.
Bài toán 1: Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng bình phương của hai số đó là 157.
- Phân tích: Bài toán có thể giải bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ phương trình theo bảng sau:
Cách
Quá trình
Số thứ nhất
Số thứ hai
PT (hệ pt)
1
Chưa bình phương
 Bình phương
x
x2
17 – x
(17 – x)2
x2 + (17 – x)2 = 157
2
Chưa bình phương
 Bình phương
x
x2
y
y2
x + y = 17
x2 + y2 = 157
- Giải: Gọi số thứ nhất là x.
=> số thứ 2 là 17 – x.
Tổng bình phương của hai số là 157. Ta có phương trình:
	x2 + (17 – x)2 = 157.
 ó x2 – 17x + 66 = 0 
t/m
	x1 = 11
	x2 = 6 
Số thứ nhất là 11 thì số thứ 2 là 17 – 11 = 6
Số thứ hai là 6 thì số thứ 2 là 17 – 6 = 11.
Vậy 2 số phải tìm là 6 và 11.
Bài toán 2: Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng 2 chữ số của nó là 9 và nếu viết thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì được số mới lớn hơn số ban đầu 360 đơn vị.
- Phân tích: Với số có hai chữ số: 	
 	Với số có ba chữ số: 
Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số có hai chữ số thì số đó trở thành số có ba chữ số, chữ số hàng chục của số ban đầu là chữ số hàng trăm của số mới, chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là chữ số hàng đơn vị của số mới.
- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x Î N, 0<x9).
=> Chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là 9 – x.
Số ban đầu là 10x + (9 – x) = 9x + 9.
Khi viết thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì số mới là:
100x + 90 + (9 – x) = 99x + 9
Số mới lớn hơn số ban đầu 360 đơn vị. Ta có phương trình:
(99x + 99) – (9x + 9) = 360
90x = 270.
x = 3 (t/m đk).
Chữ số hàng chục là 3
Chữ số hàng đơn vị là 9 – 3 = 6
Vậy số cần tìm là 36.
Bài toán 3: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích 2 chữ số đó sẽ được một chữ số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho.
- Phân tích: Chú ý sử dụng 
Ngoài ra cần chú ý khi viết số đó theo thứ tự ngược lại thì vai trò của chữ số hàng chục và hàng đơn vị sẽ được hoán đổi cho nhau:
- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x Î N, 0<x9).
	Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là y ( y Î N, 0<y9).
Theo đầu bài ra ta có:
Từ (1) => . Thế vào (2).
+ Với y = 4 => 
+ Với y = 5 => (loại).
Vậy số cần tìm là 54.
Tóm lại: Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu mối quan hệ giữa các số đặc biệt giữa các số giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, biểu diễn dưới dạng chính tắc của nó:
Khi đổi chỗ các vị trí các chữ số thay đổi thì giá trị của mỗi chữ số cũng có sự thay đổi tương ứng với vị trí mới. Ngoài ra cần chú ý điều kiện cho ẩn số phải phù hợp.
III . DẠNG TOÁN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG
( Tỷ số phần trăm )
Bài toán 1 : Trong 2 tháng đầu hai tổ sản xuất được 400 chi tiết máy, trong tháng sau tổ 1 đạt vượt mức 10%, tổ 2 đạt vượt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất được 448 chi tiết máy . Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.
 - Phân tích : 
+ Đã biết năng suất chung cả 2 tổ trong tháng đầu được 400 chi tiết máy. Nếu biết 1 trong 2 tổ ta sẽ tính được tổ kia ( chọn ẩn )
+ Gỉa sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính được tổng chi tiết máy sản xuất trong tháng sau.
+ Tính năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng phương trình.
 - Giải : 
Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất trong tháng đầu 
 (x Î Z, 0 < x < 400 )
 Như vậy tổ 2 sản xuất được 400 – x ( chi tiết máy )
 Tháng sau tổ 1 đã làm vượt mức 10%x ( chi tiết máy )
 tổ 2 đã làm vượt mức (400 – x ).15% ( chi tiết máy )
 Do đó cả 2 tổ đã vượt được : 448 – 400 = 48 ( chi tiết máy )
Theo bài ra ta có phương trình : 10%.x + ( 400 – x ).15% = 48
	 x = 240 ( t/m điều kiện )
Vậy : Tháng đầu tổ 1 sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 
 400 – 240 = 160 chi tiết máy
Cách 2 : Gọi số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu là x 
 số chi tiết máy của tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu là y 
 (x Î Z , 0 < x < 400 , y Î Z , 0 < y < 400 ) 
Ta có : x + y = 400 (1)
Trong tháng sau tổ 1 làm vượt mức 10%.x chi tiết máy 
 tổ 2 làm vượt mức 15%.y chi tiết máy 
Ta có phương trình : 10%.x + 15%.y = 48 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : x + y = 400 (1)
 10%.x + 15%.y = 48 (2)
Giải hệ phương trình ta có x = 240 ; y = 160 ( t/m điều kiện )
 Kết luận .
Bài toán 2 : Một tỉnh có tỷ lệ tăng dân số trước kia là 2% với số dân đầu năm 2002 là 2 triệu dân. Do tỷ lệ tăng dân số ở đây đã giảm đi chỉ còn 1,8% ở vùng thành thị và giảm đi 1000 người so với số đạt được với tỷ lệ 2% ở vùng nông thôn , nên số dân đầu năm 2003 của tỉnh đó là 2038400 người. Tính số dân ở vùng thành thị của tỉnh đó vào đầu năm 2003.
 - Giải : Gọi số dân vùng thành thị ; vùng nông thôn của tỉnh đó đầu năm 2002 lần lượt là x ; y ( triệu dân ) ( x > 0 ; y > 0 )
Ta có : x + y = 2 (1)
Số dân tăng ở vùng thành thị là : 1,8%.x ( triệu dân )
Số dân tăng ở vùng nông thôn là : 2%.y – 0,001 ( triệu dân )
Số dân tăng của tỉnh là : 2,0384 – 2 = 0,0384 ( triệu dân )
Ta có phương trình : 1,8%.x + 2%.y – 0,001 = 0,0384 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : x + y = 2 (1)
 1,8%.x + 2%.y – 0,001 = 0,0384 (2) 
Giải hệ ta được x= 0,3 ; y = 1,7 ( t/m diều kiện )
Số dân đầu năm 2002 của tỉnh đó ở vùng thành thị là 300000 người
Số dân tăng là : 1,8%.300000 = 5400 ( người )
Vậy: số dân tỉnh đó ở vùng thành thị đầu năm 2003 là :
 300000 +5400 = 305400(người)
Tóm lại : Với loại toán này học sinh phải xác định tỷ lệ tăng năng suất lao động 
( tăng dân số ,  )so với mốc ban đầu từ đố lập phương trình.
 IV . DẠNG TOÁN VỀ CÔNG VIỆC LÀM CHUNG , LÀM RIÊNG
( Toán quy về đơn vị )
Bài toán 1 : Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước thì sau h bể đầy. Mỗi giờ lượng nước vòi 1 chảy được bằng lượng nước vòi 2 chảy được . Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
 - Phân tích : Trong loại toán này cần lưu ý thời gian để vòi chảy đầy bể và phần bể mà vòi chảy trong 1 giờ là hai đại lượng nghịch đảo nhau.
- Giải : 
Cách 1 : Gọi thời gian để vòi 2 chảy một mình đầy bể là x (h) ( x > )
 Trong một giờ vòi 2 chảy được ( bể )
 Trong 1 giờ vòi 2 chảy được (bể )
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được ( bể ) .
Do cả hai vòi cùng chảy thì sau h bể đầy ; ta có phương trình : 
 x = 12 (t/m điều kiện )
Vậy : Vòi 2 chảy một mình thì sau 12 h đầy bể.
 Một giờ vòi 1 chảy được : ( bể )
Vòi 1 chảy 1 mình thì sau 8 h sẽ đầy bể.
Cách 2 : Gọi thời gian để vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là x (h)
 Gọi thời gian để vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h) ( x;y > )
 Một giờ vòi 1 chảy được ( bể )
 Một giờ vòi 2 chảy được ( bể ) 
Theo bài ra ta có hệ phương trình : 
Giải hệ trên ta được x = 8 ; y = 12 ( t/m điều kiện )
 => Kết luận.
Bài toán 2 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 16 ngày thì xong. Nếu đội thứ nhất làm 3 ngày và đội thứ 2 làm 6 ngày thì được 25% công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
- Giải : Gọi thời gian để đội 1 làm một mình xong công việc là x ( ngày )
 Gọi thời gian để đội 2 làm một mình xong công việc là y ( ngày )
	( x > 16 ; y > 16 )
Một ngày đội 1 làm được ( công việc )
Một ngày đội 2 làm được ( công việc )
Do 2 đội cùng làm trong 16 ngày xong công việc nên ta có phương trình :
( + ).16 = 1 (1)
Đội 1 làm 1 mình trong 3 ngày được : ( công việc )
Đội 2 làm 1 mình trong 6 ngày được : ( công việc )
Khi đó 2 đội làm được 25% ( = ) công việc ; ta có phương trình : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : ( + ).16 = 1 (1)
	 (2)
Giải hệ phương trình ta có x = 24 ; y = 48 ( t/m điều kiện )
Vậy đội 1 làm một mình thì sau 24 ngày sẽ hoàn thành công việc 
Vậy đội 2 làm một mình thì sau 48 ngày sẽ hoàn thành công việc.
Tóm lại : Với loại toán này cần làm cho học sinh thấy rõ được quan hệ giữa thời gian và năng suất làm việc : Nếu công việc làm mất x ngày ( giờ ) thì trong 1 ngày ( giờ ) làm được công việc .
V . DẠNG TOÁN VỀ TỶ LỆ CHIA PHẦN
( Thêm , bớt , tăng , giảm , tổng , hiệu , tỷ số của chúng )
Bài toán : Một đội xe cần phải chuyển 12 tấn hàng. Khi làm việc do 2 xe cần điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe.
- Phân tích : Có thể minh họa bài toán bằng bảng sau :
Số xe
Số hàng ( tấn )
Số hàng 1 xe chở ( tấn )
Dự định
x
12
Thực tế
x – 2
12
 - Giải : Gọi số xe của đội lúc đầu là x (xe ) ( x Î N ; x > 2 )
 Theo dự định mỗi xe phải chở : ( tấn hàng )
Số xe trên thực tế là : x – 2 ( xe ) 
Khi đó mỗi xe phải chở : ( tấn hàng )
 Theo bài ra ta có phương trình : - =16
 x2 – 2x – 15 = 0 x1 = - 3 ( loại )
	x2 = 5 ( t/m điều kiện )
Vậy đội xe lúc đầu có 5 xe.
VI . DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC
Bài toán 1 : Cho một tam giác vuông , nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm ; 3 cm ; thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 50 cm2 . Nếu giảm mỗi cạnh góc vuông đi 2cm
thì diện tích tam giác giảm 32 cm2. Tính các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
 - Phân tích : Cần lưu ý rằng dù các cạnh thay đổi thì diện tích của tam giác vuông luôn bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.
 - Giải : Gọi 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là x ; y (cm) ( x > 2 ; y > 2 )
 Diện tích của tam giác lúc đầu là ( cm2 )
Khi tăng các cạnh góc vuông của tam giác vuông lên 2 cm; 3cm thì diện tích tam giác là (cm2)
Ta có phương trình : - =50 (1)
Khi giảm các cạnh góc vuông của tam giác vuông đi 2 cm thì diện tích tam giác là (cm2)
Ta có phương