Giáo án Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Chủ đề 5: Khoảng cách

Chủ đề 1. KHOẢNG CÁCH
Trong đời sống ta nói đoạn đường dài từ nhà Lan sang nhà Điệp đó là khoảng cách giữa hai ngôi nhà; giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song với nhau thì khoảng cách từ một chiếc thuyền đến bờ sông là khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, và trong thực tế còn có nhiều khoảng cách khác nữa. Chuyên đề này, ta sẽ cùng nhau tìm hiểu.
Thời lượng dự kiến: 3 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức	
 - Biết được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian.
 - Biết được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
 - Biết được khoảng cách giữa hai đường.
 - Biết được khoẳng cách giữa hai đường thẳng và mặt phẳng song song.
 - Biết được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
 - Biết được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
 - Nắm và trình bày được các tính chất về khoảng cách và biết cách tính khoảng cách trong các bài toán đơn giản.
2. Kĩ năng
- Xác định được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian.
 - Xác định được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
 - Xác định được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
 - Xác định được khoảng cách giữa hai đường thẳng và mặt phẳng song song.
 - Xác định được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
 - Vận dụng được định lý ba đường vuông góc để xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, đồng thời biết cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
 - Nắm được mối liên hệ giữa các loại khoảng cách để đưa các bài toán phức tạp này về các bài toán khoảng cách đơn giản.
3.Về tư duy, thái độ	
 - Tích cực hoạt động; chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập.
 - Liên hệ được với nhiều vấn đề trong thực tế với bài học.
 - Phát huy tính độc lập, sáng tạo trong học tập.
 4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ. 
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
+ Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
+ Đọc trước bài
+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng  
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
A
Mục tiêu: Hình thành khái niệm khoảng cách giữa hai đối tượng..
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Các hình ảnh xét chiều cao của kim tự tháp hay khoảng cách từ bến tàu ra đảo Phú Quốc. Từ đó HS hình thành khái niệm khoảng cách giữa hai đối tượng trong không gian
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
B
Mục tiêu: Nắm vững các khoảng cách giữa các đối tượng và biết tìm khoảng cách giữa các đối tượng.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Cho điểm và đt Trong gọi H là hình chiếu vuông góc của trên Khi đó khoảng cách đgl khoảng cách từ điểm O đến đt a. Kí hiệu 
Trong hình vẽ (bên dưới) hãy tìm điểm trên đường thẳng d có khoảng cách đến O là nhỏ nhất? Vì sao?
VD 1. Cho hình lập phương cạnh a. Tính khoảng cách từ điểm B đến đường chéo ?
Ta có, .
Do đó vuông tại B.
+ Gọi là hình chiếu vuông góc của B lên cạnh ,suy ra: 
+ Xét ,có: (*).
Mà 
Vậy, 
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho và . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Khi đó khoảng cách đgl khoảng cách từ điểm O đến . Kí hiệu 
Trong hình vẽ (bên dưới) hãy tìm điểm trên có khoảng cách đến là nhỏ nhất? Vì sao?
VD2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng . Tính khỏang cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng 
+ Gọi I là là trung điểm cạnh kẻ 
Ta có 
Từ (1) và (2) 
Nên .
+ Xét vuông tại ta có:
 (*).
Mà 
Vậy, 
II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Cho Khoảng cách giữa a và (a) là khoảng cách từ một điểm bất kí của a đến . Kí hiệu .
Quan sát hình vẽ (bên dưới). Cho đường thẳng a song song với mp. Hãy so sánh độ dài của các đoạn thẳng Nhận xét?
( Với , lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .
VD3: Cho hình hộp chữ nhật có các cạnh Tính khoảng cách giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng theo a.
Ta có, .
+ Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với tại ().
+ 
+ Xét vuông tại B, 
ta có:.
Mà 
Vậy, 
II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mp này đến mp kia. Kí hiệu 
Quan sát hình vẽ (bên dưới). Cho hai mặt phẳng song song và Gọi thuộc và là hình chiếu vuông góc tương ứng của chúng xuống Hãy so sánh độ dài của các đoạn thẳng Nhận xét và nêu cách xác định k/c giữa hai mặt phẳng song song trong không gian?
VD4: Cho hình lập phương cạnh a. Gọi M là trung điểm cạnh AB, mặt phẳng đi qua M và song song với . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng và theo a.
Ta có song song với hai mặt phẳng và .
+ Vì M là trung điểm của AB và , nên ta suy ra:
+ 
+ Xét vuông tại B, 
ta có:.
Vậy,
Cho tứ diện đều . Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh và Chứng minh rằng , ? Có nhận xét gì về độ dài đoạn thẳng 
Từ đó giới thiệu định nghĩa.
III. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1. Định nghĩa.
a) Đường thẳng D cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy đgl đường vuông góc chung của a và b.
b) Nếu đường vuông góc chung D cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
VD5: Cho hình chóp . Tìm đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng và 
+ Hạ vuông góc với 
+ Vì (2)
Từ (1) và (2) suy ra là đường vuông góc chung giưa hai đường thẳng SA và BC.
Cho HS quan sát hình vẽ (bên dưới). Có nhận xét gì về tính chất của đường thẳng với hai đường thẳng a và b? 
và 
2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đt chéo nhau a và b. Gọi là mp chứa b và song song là hình chiếu vuông góc của a lên 
Vì nên Do đó . Gọi là mp chứa a và a’, là đt qua N và vuông góc với Khi đó vuông góc với Như vậy nằm trong nên cắt a tại M và cắt b tại N, đồng thời cùng vuông góc với cả a và b. Vậy là đường vuông góc chung của a và b.
3. Nhận xét
a) Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm trên đt này đến mp song song với nó và chứa đt kia 
b) Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đt đó.
VD6. Quan sát hình vẽ (bên phải). Chọn mệnh đề đúng, trong các mệnh đề sau, khi xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b?
 (1). Qua H dựng đường thẳng a’ song song với a, và cắt b tại B.
 (2). Chọn một điểm M trên a, dựng MH vuông góc (P) tại H.
 (3). Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
 (4). Từ B dựng đường thẳng song song với MH, và cắt đường thẳng a tại A. Đoạn AB là đoạn vuông góc của a và b. 
 A. (1)(3) (2) (4). B. (3)(1) (2) (4).
 C. (3)(2) (1) (4). D. (2)(1) (3) (4).
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
C
Mục tiêu: Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bài tập 1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh cạnh vuông góc với mặt phẳng và Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của cạnh Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng 
 A. 	B. 	
 C. 	 D. 
Ta có mà do đó Trong mặt phẳng dựng H là hình chiếu vuông góc của O trên CM, ta có và chính là khoảng cách từ I đến đường thẳng Gọi là giao điểm của với cạnh 
Hai tam giác và đồng dạng nên
.
Lại có 
và .
Vậy . 
Chọn đáp án A.
Bài tập 2. Cho hình lập phương có cạnh là a. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng 
	A. 	B. 	
 C. 	D. 
Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
Vì nên Mặt khác Suy ra hay 
Trong mặt phẳng kẻ 
Khi đó hay .
Xét rOAA’ vuông tại A có: .
Vậy . 
Chọn đáp án B.
HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG
D,E
Mục tiêu: Tìm được khoảng giữa hai đối tượng ở các bài toán vận dụng cao.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bài tập 1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm O có cạnh bằng a, và vuông góc với mặt phẳng 
 a) Tính khoảng cách từ đến .
	A. 	B. 	
 C. 	D. 
 b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác đến 
	A. 	B. 	
 C. 	D. 
a) Ta có: nên:
Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:
Trong tam giác vuông SAB có:
 Chọn đáp án A.
b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.
Do nên
Ta có:
Chọn đáp án D.
Bài tập 2. Cho hình lăng trụ tam giác có độ dài cạnh bên bằng , đáy là tam giác vuông tại , , . Biết hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là trung điểm của . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. .	B. .
C. .	D. .
Chọn C 
Gọi là trung điểm của 
Ta có suy ra và 
Từ ta dựng đường thẳng song song với , kẻ tại và tại .
Ta có .
Ta có .
Do đó
.
Ta có .
Xét tam giác vuông tại ta có 
.
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NHẬN BIẾT
1
Bài tập 1. Cho hình hộp chữ nhật . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có 
Bài tập 2. Cho hình chóp tam giác có vuông góc với mặt phẳng , , , . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. Không tính được .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Theo giả thiết, tam giác vuông tại nên là đoạn vuông góc chung của và . 
Vậy .
Bài tập 3. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, cạnh bên vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ đến bằng . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ? 
A. . 	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Do là hình bình hành là trung điểm của và .
Bài tập 4. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Gọi là trung điểm cạnh .
Ta có là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và .
Do đó .
Bài tập 5. Cho hình chóp trong đó , , vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , , . Khoảng cách từ đến bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Do ; suy ra . Kẻ . 
Vậy khoảng cách từ đến là , trong tam giác vuông : 
Trong đó , suy ra . 
THÔNG HIỂU
2
Bài tập 1. Cho hình lập phương có cạnh bằng (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Ta có 
.
Cách 2: Gọi , lần lượt tâm của hai đáy. Ta có: là đoạn vuông góc chung của và .
Do đó .
Bài tập 2. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Lời giải:
Chọn A 
Ta có vànên .
Mặt khác . Do đó từ kẻ 
hay . Trong tam giác vuông ta có 
.
Vậy . 
Bài tập 3. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại, biết và , . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Dựng đường cao của tam giác và đường cao của tam giác .
Có . 
Có . 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , được 
.
 vuông tại , Áp dụng hệ thức lượng ta được 
. 
Bài tập 4. Cho hình lập phương cạnh . Tính khoảng cách từ tới đường thẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .
 Lời giải
Chọn B
Theo giả thuyết ta có: 
Gọi là hình chiếu của lên ta có: .
Xét tam giác vuông tại ta có:
Bài tập 5. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại có , . Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B 
Ta có nên khoảng cách từ đến mặt phẳng cũng chính là khoảng cách từ đến mặt phẳng . Hạ .
Ta có .
Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng .
VẬN DỤNG
3
Bài tập 1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với đáy và . Biết diện tích tam giác là , khoảng cách từ điểm đến là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Ta có: và suy ra .
Vì đáy là hình vuông tâm nên ; , suy ra . 
Vậy là khoảng cách từ điểm đến : , 
Xét vuông tại có , suy ra . 
Bài tập 2. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy . Tính khoảng cách từ đến 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Gọi , lần lượt là trung điểm của và suy ra , và 
Vì tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên .
Cách 1: 
Khoảng cách từ đến là .
Cách 2: Vì nên . 
Do đó với trong .
Ta có:.
Bài tập 3. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại , ; cạnh bên vuông góc với đáy; là trung điểm . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn B 
+ Ta có: nên vuông tại và .
+ Kẻ tại . Ta có:
 nên . Suy ra: tại . Suy ra: .
+ vuông tại có: .
Suy ra: .
+ Ta có: nên .
Suy ra: 
Vậy 
Bài tập 4. Cho hình chóp có tam giác vuông tại , , là trung điểm của hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của , mặt phẳng tạo với đáy một góc bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là trung điểm thì và .
Vậy .
Lại có nên .
Kẻ nên .
Bài tập 5. Cho hình chóp có , , tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng . Biết , . Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B 
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên , suy ra và .
Do đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Xét , có: .
Xét vuông tại , có .
VẬN DỤNG CAO
4
Bài tập 1. Cho hình hộp , , . Điểm là trung điểm cạnh . Một tứ diện đều có hai đỉnh và nằm trên đường thẳng , hai đỉnh , nằm trên đường thẳng đi qua điểm và cắt đường thẳng tại điểm . Khoảng cách bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C 
Do tứ diện đều nên ta có hay .
Ta có: 
Và 
Khi đó nên 
Vậy là điểm trên sao là trung điểm của .
Do đó .
Bài tập 2. Cho hình lăng trụ đứng . Cạnh bên , là tam giác vuông tại có , . Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C 
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên .
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên .
Ta có . Mặt khác .
Ta có .
Ta có , .
Suy ra: , nên .
Vậy .
Bài tập 3. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và là trọng tâm tam giác Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Dựng 
Chứng minh được 
Tính được 
Suy ra Vậy
Bài tập 4. Cho hình lăng trụ đứng có , , và . Gọi , lần lượt là các điểm trên cạnh , sao cho ; . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A 
Cách 1:
Ta có . Suy ra .
Ta cũng có , suy ra .
Gọi , suy ra , nên .
Từ đó, ta có
.
Hay .
Kẻ và , suy ra , do đó .
Từ .
Do đó .
.
.
Từ suy ra
.
Bài tập 5. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng . Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa và mặt phẳng đáy bằng . Gọi , là các điểm lần lượt thuộc cạnh đáy và sao cho và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B 
- Vì hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên 
 là góc giữa và mặt phẳng đáy.
- Trong mặt phẳng dựng cắt tại , cắt tại .
Gọi là giao điểm của và .
Ta có: .
Do .
Lại có: 
Mặt khác: .
- Xét tam giác và tam giác có: , , 
 (c.g.c) 
 (có giao tuyến là ).
- Dựng tại .
- Ta có: , .
.
V. PHỤ LỤC
PHIẾU HỌC TẬP
1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ
2
Nội dung
Nhận thức
Thông hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Biết cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Biết cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng.
Nắm được kỹ năng tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Nhận thức được khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng tới mặt phẳng.
Vận dụng trong việc tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Nhận thức được khoảng cách hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm mặt phẳng này tới mặt phẳng.
Vận dụng trong việc tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đưa về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Dựng được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.