Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương 3 - Chủ đề 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Chủ đề. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Thời lượng dự kiến: 5 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức, kĩ năng, thái độ
1.1. Kiến thức
- Viết và giải thích được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b. Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b.
- Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung.
- Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối nón cụt, khối trụ tròn xoay trong trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox.
1.2. Kĩ năng
- Áp dụng được công thức tính diện tích hình phẳng, thiết lập được công thức tính thể tích khối chóp, khối nón và khối nón cụt.
- Ứng dụng được tích phân để tính được thể tích nói chung và thể tích khối tròn xoay nói riêng.
1.3. Về thái độ	
 - Thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích.
- Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo trong học tập. 
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.
 - Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới.
 - Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
2. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển
2.1. Năng lực chung
 - Năng lực quan sát.
 - Năng lực tương tác giữa các nhóm và các cá nhân.
 - Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.
 - Năng lực hợp tác.
 - Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán.
 - Năng lực tính toán.
2.2. Năng lực chuyên biệt
 - Năng lực tư duy.
 - Năng lực tìm tòi sáng tạo.
 - Năng lực vận dụng kiến thức trong thực tiễn.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
+ Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
+ Đọc trước bài
+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng  
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
A
Mục tiêu:Ôn tập các công thức diện tích, thể tích đã biết để giới thiệu bài mới
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
GV hướng dẫn, tổ chức học sinh ôn tập, tìm tòi các kiến thức liên quan bài học đã biết
- Kể tên các công thức và cách tính diện tích các đa giác đã học
- Kể tên các công thức và cách tính thể tích các khối đa diện đã học
- Kể tên các công thức và cách tính thể tích khối tròn xoay đã biết
GV tổng kết các kết quả, bổ sung một số kết quả còn thiếu và nêu hoạt động chuyển tiếp bài mới: Ứng dụng tích phân trong các bài toán hình học
- Diện tích tam giác vuông, tam giác cân, tam giác bất kỳ, hình vuông, hình bình hành, hình thoi, hình thang, hình chữ nhật, lục giác đều,
- Thể tích khối lập phương, khối hộp chữ nhật, khối chóp tam giác, chóp tứ giác,
- Thể tích khối nón tròn xoay, thể tích khối trụ tròn xoay.
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
B
Tiết 1
Mục tiêu: Hình thành và luyện tập công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Xây dựng công thức
- Cho học sinh tiến hành Hoạt động 1 trong SGK
+ Yêu cầu HS vẽ hình và giới hạn phần hình cần tính diện tích 
+ Tính diện tích theo công thức hình thang
+ Tính diện tích theo tích phân (định nghĩa tích phân) 
+ So sánh theo hai cách tính
- GV trình chiếu hình vẽ 51, 52 SGK
- GV đặt vấn đề nghiên cứu cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b.
+ Nếu hàm y = f(x) liên tục và không âm trên . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b là: 
+ Nếu hàm y = f(x) 0 trên . Diện tích 
+ Tổng quát: 
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 1: 
+ Công thức 
+ Hình vẽ
+ Từ hình vẽ, suy ra . Do đó
+ Sử dụng MTCT để cho kết quả.
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 2: 
+ Công thức 
+ Hình vẽ
Từ hình vẽ , suy ra 
+ Sử dụng MTCT để cho kết quả.
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 3: 
 Hoạt động nhóm
+ Công thức 
+ Hình vẽ
Từ hình vẽ , suy ra 
Phá dấu trị tuyệt đối từ kết quả dấu.
+ Sử dụng MTCT để cho kết quả.
I. Tính diện tích hình phẳng
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục, trục hoành và hai đường thẳng được tính theo công thức
 (1) .
C Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu thì .
Nếu thì .
-Cách 1: Xét dấu của biểu thức f(x) trên đoạn .
-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn .
Ví dụ 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 4 , trục hoành , các đường thẳng x = - 2 , x = 0 . 
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là 
Ví dụ 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng x = -1 ; x = 0 .
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là 
Ví dụ 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 3 
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là 
Tiết 2
Mục tiêu: Hình thành và luyện tập công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong; thể tích vật thể, thể tích khối chóp và khối chóp cụt
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
- GV trình chiếu hình vẽ 54 SGK
+ Đặt tên các điểm của hình 54 
+ Diện tích hình cần tìm là hiệu hai hình nào ? 
+ Em hãy lập công thức để tính diện tích hình đó ? 
- GV lưu ý: Để tính S ta thường thực hiện theo các cách
Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu thức f1(x) – f2(x) rồi khử dấu trị tuyệt đối
Cách 2: Tìm nghiệm của phương trình f1(x) – f2(x) = 0. 
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 4.
 Hoạt động nhóm
+ Phương trình hoành độ giao điểm
Vì x > 0 nên 
+ Công thức 
+ Xét dấu biểu thức bên trong dấu trị tuyệt đối
 Vì nên 
+ Kết quả .
+ Sử dụng MTCT để cho kết quả. 
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 5.
Cách 1 : Dựa vào đồ thị ta có x2 – 3x + 2 ≤ x – 1 " xÎ[1 ; 3 ] .
Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0 " x Î [1 ; 3] 
Cách 2 : Xét dấu tam thức x2 - 4x + 3 ta có 
x
-∞ 1 3 + ∞
x2 – 4x + 3
 + 0 - 0 +
Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0 " x Î [1 ; 3] 
- Hoạt động mô tả vật thể.
- Hoạt động hình thành công thức: Thể tích của vật thể.
- Thể tích khối chóp trong hình học
- Thể tích khối chóp trong tích phân
- So sánh.
- Thể tích khối chóp cụt trong hình học
- Thể tích khối chóp cụt trong tích phân
- So sánh.
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 6.
Hoạt động nhóm
- Diện tích của thiết diện là 
- Do đó thể tích của vật thể là 
- Sử dụng MTCT để tìm ra đáp số.
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 
Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b trong hình 54 thì diện tích của hình phẳng được tính theo công thức
Ví dụ 4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , y = x và hai đường thẳng x = 1 , x = e
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :.Trên đoạn phương trình xlnx – x = 0 chỉ có một nghiệm x = e.
Diện tích S của hình phẳng trên là 
Ví dụ 5 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng y = x – 1 .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng y = x – 1 là 
Suy ra diện tích của hình phẳng trên là 
II. Tính thể tích
1. Thể tích của vật thể
Một vật thể V giới hạn bởi 2 mp (P) và (Q). Chọn hệ trục toạ độ có Ox vuông góc với (P) và (Q). Gọi a, b (a < b) là giao điểm của (P) và (Q) với Ox. Gọi một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x () cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên . Khi đó thể tích của vật thể V được tính bởi công thức
2.Thể tích khối chóp và khối chóp cụt
2.1 Thể tích khối chóp
2.2 Thể tích khối chóp cụt
Ví dụ 6 . Tính thể tích của vật thể nằm giữa 2 mp x = 3 và x = 5, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mp vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x () là một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là 2x, 
Giải
Tiết 3
Mục tiêu: 
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
- HS nêu các khối tròn xoay đã học.
- HS nêu các công thức tính thể tích khối tròn xoay đã biết.
- GV hình thành công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a và x = b.
- Công thức tính thể tích khối cầu đã biết?
Hoạt động nhóm: Chứng minh bằng tích phân.
+ Viết phương trình nửa cầu phía trên trục hoành? 
+ Tính thể tích của hình cầu bán kính R ? 
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 7.
+ Công thức sử dụng?
+ Thay vào công thức, đưa ra tích phân 
+ Sử dụng MTCT đưa kết quả.
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 8.
+ Công thức dụng?
+ Thay vào công thức, đưa ra tích phân, hình thành cách tính tích phân:
+ Sử dụng MTCT đưa kết quả để đối chiếu.
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 9
- Hình vẽ
Hình 42
Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = 2x - 4 , y = 0 , x = 0 , x = 2 quanh trục hoành Ox .
 (đvtt)
Gọi V2 là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = x2 – 4 , y = 0 , x = 0 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
 (đvtt)
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là : (đvtt
3. Thể tích khối tròn xoay
3.1.Thể tích khối tròn xoay
3.2.Thể tích khối cầu bán kính R
Ví dụ 7. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
 y = x2 – 2x , y = 0 , x = 0 , x = 1.
Giải
Ví dụ 8. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox:
, y=0,x=0, x=p .
Giải
Ví dụ 9 . Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox:
, y = 2x -4 , x = 0 , x = 2 .
Giải
Tiết 4,5
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
C
Mục tiêu:Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài tập 1
- Diện tích S của hình phẳng trên là 
- Hình vẽ 
Từ hình vẽ , suy ra 
Do đó .
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài tập 2
- Diện tích S của hình phẳng trên là 
- Hình vẽ 
- Từ hình vẽ , suy ra 
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài tập 3
- Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành.
- Tính diện tích của hình phẳng được tô màu ở trên .
Dựa vào đồ thị , suy ra -x4 +5x2 - 4 ≥ 0 " x Î [ -2 ; -1] È[ 1; 2] 
 - x4 + 5x2 – 4 ≤ 0 " x Î [ -1 ; 1 ]
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài tập 4
Tổ chức hoạt động nhóm
- 
- Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài tập 5
- Đồ thị
Giải : a/ Phương trình của đường thẳng d có dạng y = ax + b.
Vì đường thẳng d đi qua hai điểm (- 2 ; 0) và ( 0 ;2) nên ta có :
 Vậy đường thẳng d : y = x + 2
b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là :
Diện tích của hình phẳng trên là : 
Áp dụng cách đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ta có :
 (đvdt)
GV tổ chức cho học sinh thực hiện học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài tập 5
Tổ chức hoạt động nhóm
- Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = x + 2 , y = 0 , x = -2 , x = 1 quanh trục hoành Ox .
- Gọi V2 là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = 4- x2 , y = 0 , x = 1 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
Bài tập 1.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= -2x-4 , trục hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x =-2.
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là 
Bài tập 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số
y = x3 –x2 + 2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x = - 1 ; x = 2 .
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là 
Bài tập 3. Cho hàm số y= -x4 +5x2 - 4 có đồ thị (C).
a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành .
b/Tính diện tích của hình phẳng được tô màu ở trên .
Giải
a/ Ta có 
Suy ra ( -2;0) , (-1;0) , (1;0) , (2; ) .
b/
 = 8
Bài tập 4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số :
 , và hai đường thẳng x =0,x=2 .
Giải
- Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
Bài tập 5. Cho hình phẳng như hình vẽ.
a/ Viết phương trình của đường thẳng d .
b/ Tính diện tích của hình phẳng đó , biết rằng đồ thị (C ) có phương trình 
y = x3 – 3x + 2 .
Giải
a/ Phương trình của đường thẳng d có dạng y=ax + b. Vì đường thẳng d đi qua hai điểm (- 2 ; 0) và ( 0 ;2) nên ta có :
 Vậy d : y = x + 2.
b/Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là :
Diện tích của hình phẳng trên là 
Bài tập 6. Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số =4–x2 , trục hoành và đường thẳng y = x + 2 .
Giải
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là 
HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG
D,E
Mục tiêu: Phát hiện một số vấn đề còn tồn tại của học sinh khi tiếp cận chuyên đề này, từ đó có hướng giải quyết phù hợp
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
 - GV đặt vấn đề và tổ chức hoạt động nhóm để học sinh nên lên một số vấn đề khó khăn trong việc tiếp thu chủ đề: ứng dụng của tích phân trong hình học. 
 - HS được hình thành 4 nhóm nhỏ để thảo luận, tìm kiếm các vấn đề mà nhóm còn khó khăn hoặc chưa giải quyết được
- Khó khăn trong việc việc tìm ra đồ thị của mỗi đường để mô tả hình phẳng hoặc vật thể tròn xoay liên quan.
- Khó khăn trong việc phá dấu trị tuyệt đối trong các bài toán tính diện tích hình phẳng.
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NHẬN BIẾT
1
Câu 1. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox.
A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Câu 2. Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. .	 B. .
C. .	 D. .
THÔNG HIỂU
2
Câu 3. Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. .	D. .
Câu 4. Cho hình phẳng giới hạn với đường cong , trục hoành và các đường thẳng . Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
VẬN DỤNG
3
Câu 5. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Một chất điểm xuất phát từ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật , trong đó (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm cũng xuất phát từ , chuyển động thẳng cùng hướng với nhưng chậm hơn giây so với và có gia tốc bằng ( là hằng số). Sau khi xuất phát được giây thì đuổi kịp . Vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp bằng 
A. . B. . C. .	 D. .
VẬN DỤNG CAO
4
Câu 7. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh , , , như hình vẽ bên. Biết chi phí sơn phần tô đậm là đồng/ và phần còn lại là đồng/. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết , và tứ giác là hình chữ nhật có ?
A. đồng. B. đồng. C. đồng.	D. đồng.
Câu 8. Cho đường thẳng và parabol ( là tham số thực dương). Gọi và lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình bên. Khi thì thuộc khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .